Shunya lugu

Kuidas India matemaatikud nulli mõistena määratlesid.

6. sajandil eKr tõestas matemaatik Pythagoras, et iga täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on selle kahe teise külje ruutude summa. Seda tehes saavutas ta igavese kuulsuse. Tõenduse vahetu kättesaamine pidi tedagi rõõmustav olema; Kreeka koloonia Croton kuulutas tähistamiseks välja 10-päevase puhkuse ja lasi tappa 100 härga, kostitades kogu koloonia elanikkonda uhke pidusöögiga. Pythagorasest oli ametlikult saanud akadeemiline superstaar.

Me teame palju vähem, kuidas Pythagorase teoreem võeti vastu 200 aastat enne Pythagorast, 8. sajandil eKr Indias, kui samale tulemusele juhtis tähelepanu Baudhayana oma Sulba Sutras. Baudhayana näitas, et kolmnurga diagonaalist moodustatud ruudul on kolmnurga pikkuse ja laiuse järgi moodustatud ruutude kombineeritud pindala - Pythagorase teoreemi geomeetriline analoog.

Jätame vahele 200 aastat edasi, et näha, mida Pythagoras pärast oma teoreemi tõestamist tegi. Ta väitis, et iga arvu, olenemata sellest, kui suur see on, saab väljendada kahe naturaalarvu täiusliku suhtena (see tähendab, et ta uskus, et kõik arvud on ratsionaalsed). Ühel päeval tegi õpilane (enamuste iidsete kommentaatorite järgi nimega Hippasus) suure avastuse. Ruutjuurt 2 ei saa kunagi täpselt väljendada suhtena! Ometi oli Pythagorase teoreem juba tõestanud, et ruutjuurel arvust 2 on reaalne füüsiline tähendus: see oli võrdhaarse kolmnurga hüpotenuusi pikkus, mille kahe ülejäänud külje pikkus on 1. Pythagorasel oli nüüd suur oht tema mainele : kui ta peaks Pythagorase teoreemi järgima, peab ta nõustuma, et tema väide kõigi arvude ratsionaalsete kohta oli vale.

Tema väljapääs dilemmast oli jahutavalt lihtne – ta mõrvas oma õpilase. Vaene Hippasus maksis oma intellektuaalse uudishimu eest eluga.

Teadaolevalt oli teadlaste elu muistses Indias suhteliselt rahulikum. Puudusid igasugused jäigad eelarvamused numbrite maailma kohta. Näib, et Baudhayanal (ja hiljem Aryabhatal) ei olnud vähimatki raskust leppida sellega, et arvud võivad olla irratsionaalsed – mõlemad andsid ligikaudsed 2 ja pi ruutjuure väärtused, ilma et neid ei häiriks asjaolu, et kumbagi ei saanud täpselt väljendada suhtena. kahest naturaalarvust.

Kuigi iidsete kreeklaste haritumad olid hõivatud oma akadeemilise maine kaitsmisega, võime eeldada, et vähem kuulsatel kreeklastel – neil, kes tegelesid oma igapäevase äritegevusega turul – oli lihtne oma numbritega toime tulla. kontosid. See aga nii ei olnud. Aritmeetika oli enne meie kaasaegse kohaväärtuste süsteemi leiutamist äärmiselt keeruline. Mõelge lihtsalt rooma numbritele, et mõista, miks. Erinevate numbrite sümbolitega, kuid ilma kohaväärtuste süsteemita, ei olnud kahe numbri liitmine lihtne. Kui numbrid oleksid olnud väikesed, poleks sellel ehk erilist tähtsust olnud, kuid suurte numbritega tegelemisel muutus see pigem puuteks. Nad tegid summasid, joonistades liiva sisse geomeetrilisi kujundeid ja liites või lahutades kujundite pindalasid, mitte eriti tõhusalt. Veelgi enam, kreeklastel polnud nulli. Neile tundus tühjuse mõiste ebamugav. Samuti polnud neil negatiivseid numbreid, kuna polnud mõtet suuremat ala väiksemast lahutada.

Nii algab meie lugu nullist kui mõistest – lugu, mis viib meid 6. ja 7. sajandil pKr Indiasse, matemaatik Brahmagupta ajastusse. Juba enne Brahmaguptat olid teised matemaatikud kasutanud nulli, kuid ainult sümbolina; nad ei osanud sellega aritmeetilisi tehteid teha. Brahmagupta defineeris esimesena selgelt nulli (nagu selle, mis jääb alles, kui arv endast lahutada) ja uuris kõiki selle omadusi. Null ehk shunya saab nüüd täielikult aritmeetikasse integreerida ja täiendada kohaväärtuste kümnendsüsteemi. Brahmagupta leiutas kontseptsioonina ka negatiivsed arvud. Selle asemel, et käsitleda numbreid lihtsalt abstraktsete mõistetena, suutis Brahmagupta anda negatiivsetele numbritele ka praktilise tähtsuse, nimetades neid võlgadeks – miski, mis pidi laenuandjate ja laenuvõtjate seas koheselt kõlama.

Brahmagupta peamine matemaatikateos, Brahmasphutasiddhanta ehk Universumi avanemine, kirjutati aastal 628 pKr. Enam kui sajand hiljem, umbes aastal 770 pKr, al-Biruni andmetel kuulis Bagdadi kaliif al-Mansur Brahmaguptast külalisesineva India õpetlase Kanka kaudu, kes tõi kaasa Brahmasphutasiddhanta koopia ja tellis tema raamatu araabiakeelse tõlke. . Seejärel hakkasid araablased järk-järgult tundma nulli mõistet, mida nad nimetasid sifriks. Null jäi aga Euroopale tundmatuks veel 400 aastat, kuni maurid Hispaania vallutasid ja nulli endaga kaasa tõid. Raamatupidajad ja ärimehed üle kogu Euroopa võtsid selle innukalt kasutusele, leides lihtsa viisi oma raamatupidamisarvestuse tasakaalustamiseks, viies nende varade ja kohustuste summa nulli. Kuid valitsused ei olnud nii innukad – Firenze keelustas selle 1299. aastal. Üks põhjus oli see, et petturitel oleks lihtne numbreid paisutada, lisades lõppu nulli. Kaupmehed aga polnud valmis nullist nii kergelt loobuma ning jätkasid keelust hoolimata selle jaoks salasümboli kasutamist. Null ehk sifr hakati seega seostama salakoodidega - tänapäevase termini šifri päritolu.

Tõenäoliselt ei anna numbrisüsteemi populaarsusest suuremat tunnistust kui see, et salakood töötati välja selleks, et seda ebaseaduslikult edasi kasutada. Brahmagupta ei võinud teada, kuidas tema numbrisüsteemist koos nulli ja negatiivsete arvudega saab numbrisüsteem, nagu ka Baudhayana ei osanud ette näha, kui kuulsaks tema tulemus saab. Nende kahjuks tuntakse Baudhayana tulemust nüüd ainult Pythagorase teoreemina, samas kui vähesed teavad Brahmaguptat kui araabia numbrite taga olevat geeniust. (Irooniline on see, et araabia matemaatik al-Khowarizmi, kes sai kuulsaks araabia numbritega, nimetas neid hindu numbriteks.)

Kirjanik on Delhis JNU rahvusvaheliste uuringute kooli majandusdotsent